Les deux formules
- Population entière (on divise par n)
- σ = √[Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n]
- Échantillon (on divise par n − 1)
- s = √[Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)]
- Loi normale : part à ± 1 écart-type
- environ 68 %
L’écart-type est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que les données.
Comment calculer un écart-type pas à pas
- Calculez la moyenne x̄ de la série.
- Calculez chaque écart à la moyenne : xᵢ − x̄.
- Élevez chaque écart au carré.
- Faites la moyenne de ces carrés : c’est la variance (divisez par n, ou par n − 1 pour un échantillon).
- Prenez la racine carrée : c’est l’écart-type.
| Note | Écart à la moyenne | Écart au carré |
|---|---|---|
| 4 | −8 | 64 |
| 8 | −4 | 16 |
| 12 | 0 | 0 |
| 14 | 2 | 4 |
| 16 | 4 | 16 |
| 18 | 6 | 36 |
| Total | 0 | 136 |
Résultat
Variance (population) : 136 ÷ 6 ≈ 22,67. Écart-type : √22,67 ≈ 4,76.
Version échantillon : 136 ÷ 5 = 27,2, écart-type ≈ 5,22.
Classe A (notes 10, 11, 12, 12, 13, 14, même moyenne 12) : somme des carrés des écarts = 10, écart-type ≈ 1,29.
La colonne des écarts totalise toujours 0 : c’est pour cela qu’on les élève au carré, sinon positifs et négatifs s’annuleraient. Si l’on prend plutôt leurs valeurs absolues, on obtient un autre indicateur, l’écart moyen.
Calculez l’écart-type de votre série
L’outil calcule l’écart-type de population (division par n). Pour un échantillon, multipliez le résultat par √(n ÷ (n − 1)).
Diviser par n ou par n − 1 ?
Si vos données couvrent toute la population qui vous intéresse (les 28 élèves de la classe), divisez par n. Si elles sont un échantillon servant à estimer la dispersion d’une population plus large (1 000 personnes interrogées pour décrire tous les Français), divisez par n − 1. Les écarts sont mesurés par rapport à la moyenne de l’échantillon, qui est par construction « au centre » des données : diviser par n sous-estimerait la dispersion réelle. La correction de Bessel (n − 1) compense ce biais pour la variance.
| Outil | Population (÷ n) | Échantillon (÷ n − 1) |
|---|---|---|
| Excel (français) | ECARTYPE.PEARSON | ECARTYPE.STANDARD |
| Google Sheets | ECARTYPEP | ECARTYPE |
| Python (statistics) | pstdev | stdev |
| Calculatrices | σx ou σn | sx ou σn−1 |
Avec beaucoup de données, la différence devient négligeable : pour n = 100, le rapport entre les deux vaut √(100 ÷ 99) ≈ 1,005.
Interpréter un écart-type : la règle des 68-95-99,7
Pour une distribution en cloche (loi normale), environ 68 % des valeurs sont à moins d’un écart-type de la moyenne, 95 % à moins de deux, et 99,7 % à moins de trois. Les tests de QI en donnent une illustration directe : ils sont étalonnés sur une moyenne de 100 et un écart-type de 15.
| Intervalle | QI correspondant | Part de la population |
|---|---|---|
| Moyenne ± 1 écart-type | 85 à 115 | ≈ 68,3 % |
| Moyenne ± 2 écarts-types | 70 à 130 | ≈ 95,4 % |
| Moyenne ± 3 écarts-types | 55 à 145 | ≈ 99,7 % |
Cette règle ne vaut que pour des distributions proches de la loi normale. Pour des revenus ou des patrimoines, très asymétriques, l’écart-type est moins parlant : on lui préfère l’écart interquartile (voir quartiles) ou les rapports de déciles. Le QI est détaillé sur la page QI moyen.
Comparer des dispersions : le coefficient de variation
Un écart-type de 7 cm sur des tailles d’adultes et de 0,5 kg sur des poids de nouveau-nés ne se comparent pas directement. Le coefficient de variation, écart-type ÷ moyenne, donne une dispersion relative sans unité : 7 ÷ 176,6 ≈ 4 % pour une taille moyenne d’homme de 176,6 cm avec un écart-type d’environ 7 cm.
L’écart-type est sensible aux valeurs extrêmes, car les écarts sont élevés au carré : une seule valeur aberrante peut le doubler. Vérifiez vos données avant d’interpréter. L’écart-type ne dit pas non plus où se trouve le centre : il se lit toujours avec la moyenne, et pas avec la médiane ou le mode.
Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Un écart-type peut-il être négatif ?
Non. C’est la racine carrée d’une somme de carrés : il est toujours positif ou nul. Il vaut 0 seulement si toutes les valeurs sont identiques.
Quelle différence entre écart-type et variance ?
La variance est le carré de l’écart-type. Elle s’exprime en unités au carré (points², cm²), ce qui la rend peu lisible ; l’écart-type revient à l’unité des données.
Qu’est-ce qu’un « bon » écart-type ?
Il n’y a pas de valeur idéale : tout dépend de ce que l’on mesure. On compare plutôt des écarts-types entre eux (deux classes, deux machines) ou on les rapporte à la moyenne.
Quelle différence avec l’erreur type ?
L’écart-type décrit la dispersion des données ; l’erreur type, écart-type ÷ √n, décrit la précision de la moyenne calculée sur ces données.
Sources
- Insee, « Écart-type », définition, mise à jour 2020. insee.fr
- Microsoft, « Fonctions statistiques (référence) » (ECARTYPE.PEARSON, ECARTYPE.STANDARD), Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques », documentation Python 3. docs.python.org