Les formules
- Définition (population)
- V = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n
- König-Huygens
- V = (Σxᵢ² ÷ n) − x̄²
- Échantillon (estimation)
- s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Écart-type = √variance. La variance s’exprime dans l’unité des données au carré.
Calculer une variance avec la définition
| Valeur xᵢ | Écart xᵢ − 5 | Écart² | xᵢ² |
|---|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 | 4 |
| 4 | −1 | 1 | 16 |
| 4 | −1 | 1 | 16 |
| 4 | −1 | 1 | 16 |
| 5 | 0 | 0 | 25 |
| 5 | 0 | 0 | 25 |
| 7 | 2 | 4 | 49 |
| 9 | 4 | 16 | 81 |
| Total | 0 | 32 | 232 |
Deux méthodes, même résultat
Par la définition : V = 32 ÷ 8 = 4.
Par König-Huygens : moyenne des carrés = 232 ÷ 8 = 29 ; carré de la moyenne = 5² = 25 ; V = 29 − 25 = 4.
Écart-type : √4 = 2. Version échantillon : 32 ÷ 7 ≈ 4,57.
La formule de König-Huygens évite de calculer tous les écarts : il suffit de la somme des valeurs et de la somme de leurs carrés. C’est elle qu’utilisent les calculatrices. Attention cependant aux arrondis : si la moyenne est grande et la dispersion faible (des valeurs autour de 1 000 000 qui varient de quelques unités), la soustraction de deux grands nombres proches peut faire perdre toute précision ; la formule par les écarts est alors plus sûre.
Variance d’un tableau d’effectifs
Quand chaque valeur xᵢ apparaît nᵢ fois, on pondère : V = Σnᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N, ou V = (Σnᵢxᵢ² ÷ N) − x̄², avec N = Σnᵢ.
Exemple : nombre de frères et sœurs dans une classe de 25 élèves
0 : 4 élèves · 1 : 10 · 2 : 7 · 3 : 4.
Moyenne : (0 + 10 + 14 + 12) ÷ 25 = 36 ÷ 25 = 1,44.
Moyenne des carrés : (0 + 10 × 1 + 7 × 4 + 4 × 9) ÷ 25 = 74 ÷ 25 = 2,96.
Variance : 2,96 − 1,44² = 2,96 − 2,0736 = 0,8864. Écart-type ≈ 0,94.
Propriétés de la variance
- Toujours positive ou nulle, et nulle seulement si toutes les valeurs sont égales.
- Insensible aux translations : ajouter 2 points à toutes les notes ne change pas la variance (les écarts restent les mêmes).
- Effet d’un changement d’échelle : multiplier toutes les valeurs par a multiplie la variance par a². Passer des notes sur 20 aux notes sur 100 (×5) multiplie la variance par 25 et l’écart-type par 5. Formule générale : V(aX + b) = a² × V(X).
- Somme de variables indépendantes : la variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances. C’est ce qui permet de calculer la précision d’une moyenne (erreur type).
Variance intra-groupe et inter-groupe
La variance totale d’une population divisée en groupes se décompose en deux parties : la moyenne des variances des groupes (variance intra) et la variance des moyennes des groupes (variance inter), chaque groupe étant pondéré par son effectif.
Exemple : deux groupes de trois élèves
Groupe A : 10, 12, 14 (moyenne 12, variance 8 ÷ 3 ≈ 2,67). Groupe B : 16, 18, 20 (moyenne 18, variance ≈ 2,67).
Variance intra : 2,67. Variance inter : [3 × (12 − 15)² + 3 × (18 − 15)²] ÷ 6 = 54 ÷ 6 = 9.
Variance totale des six notes (moyenne 15) : (25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25) ÷ 6 = 70 ÷ 6 ≈ 11,67 = 2,67 + 9.
Cette décomposition est la base de l’analyse de la variance (ANOVA) : si la variance inter pèse lourd dans le total, l’appartenance au groupe explique une grande partie des différences.
Dans Excel, Google Sheets et Python
| Outil | Population (÷ n) | Échantillon (÷ n − 1) |
|---|---|---|
| Excel (français) | VAR.P | VAR.S |
| Google Sheets | VAR.P | VAR.S |
| Python (statistics) | pvariance | variance |
Excel fournit aussi SOMME.CARRES.ECARTS, qui renvoie directement Σ(xᵢ − x̄)² (32 dans l’exemple).
Variance, écart-type et autres mesures de dispersion
La variance est l’outil des calculs (elle s’additionne, se décompose), l’écart-type celui de l’interprétation (il est dans l’unité des données). L’écart moyen utilise les valeurs absolues plutôt que les carrés et pèse moins les valeurs extrêmes. Pour des distributions asymétriques, on préfère des mesures fondées sur l’ordre : écart interquartile (quartiles), rapports de déciles, autour de la médiane. Le mode, lui, n’a pas de mesure de dispersion associée. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Pourquoi élever les écarts au carré plutôt que prendre leur valeur absolue ?
Les carrés ont de meilleures propriétés mathématiques (dérivabilité, additivité pour des variables indépendantes, décomposition intra/inter). La valeur absolue donne l’écart moyen, plus intuitif mais moins pratique dans les calculs.
La variance peut-elle être plus grande que la moyenne ?
Oui, rien ne l’interdit : la série 0, 10 a une moyenne de 5 et une variance de 25. Les deux grandeurs ne sont pas dans la même unité.
Que signifie une variance nulle ?
Que toutes les valeurs sont identiques : aucun écart à la moyenne.
Sources
- Microsoft, « Fonctions statistiques (référence) » (VAR.P, VAR.S, SOMME.CARRES.ECARTS), Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques », documentation Python 3. docs.python.org
- Insee, « Écart-type », définition. insee.fr