L’essentiel
- Énoncé simple
- X̄ₙ → E(X) quand n → ∞
- Vitesse de convergence de l’écart typique
- σ ÷ √n
- Pour diviser l’erreur par 10
- 100 fois plus de tirages
Condition : tirages indépendants, de même loi, d’espérance finie.
Ce que dit la loi des grands nombres
Soit X₁, X₂, …, Xₙ des tirages indépendants d’une même variable aléatoire, d’espérance mathématique μ. Leur moyenne X̄ₙ = (X₁ + … + Xₙ) ÷ n se rapproche de μ quand n grandit. Deux versions existent :
- La loi faible : pour tout écart ε, la probabilité que la moyenne s’écarte de μ de plus de ε tend vers 0. C’est la version de Bernoulli, publiée en 1713 dans Ars Conjectandi.
- La loi forte : la moyenne converge vers μ « presque sûrement », c’est-à-dire pour presque toutes les suites de tirages. Elle a été établie au XXe siècle, notamment par Émile Borel (1909) puis Andreï Kolmogorov.
Pour la fréquence d’un événement (proportion de « pile », de 6, de votes pour un candidat), la variable vaut 1 si l’événement se produit et 0 sinon : son espérance est la probabilité p, et la fréquence observée tend vers p.
Une illustration avec un dé
| Nombre de lancers | Moyenne observée | Écart à 3,5 | Écart typique attendu (1,71 ÷ √n) |
|---|---|---|---|
| 10 | 3,80 | 0,30 | 0,54 |
| 100 | 3,81 | 0,31 | 0,17 |
| 1 000 | 3,609 | 0,109 | 0,054 |
| 10 000 | 3,469 | 0,031 | 0,017 |
| 100 000 | 3,491 | 0,009 | 0,005 |
La moyenne se rapproche de 3,5, mais pas de façon régulière : à 100 lancers, elle n’est pas meilleure qu’à 10. La loi garantit une tendance, pas une amélioration à chaque lancer. L’écart typique attendu, σ ÷ √n (avec σ ≈ 1,71 pour un dé), donne l’ordre de grandeur des fluctuations ; il porte un nom, l’erreur type de la moyenne.
La vitesse de convergence : la règle de la racine carrée
L’écart typique entre la moyenne observée et l’espérance diminue comme 1 ÷ √n. Conséquence pratique : pour être deux fois plus précis, il faut quatre fois plus de données ; pour être dix fois plus précis, cent fois plus. C’est pourquoi un sondage de 1 000 personnes donne une marge d’erreur d’environ 3 points pour un résultat proche de 50 %, et qu’il en faudrait environ 4 000 pour la réduire de moitié.
Calcul pour un sondage
Pour une proportion p = 0,5, l’écart-type d’une réponse vaut √(0,5 × 0,5) = 0,5.
Erreur type pour n = 1 000 : 0,5 ÷ √1 000 ≈ 0,0158, soit 1,6 point.
Marge à 95 % : 1,96 × 1,6 ≈ 3,1 points. Pour n = 4 000 : 1,96 × 0,5 ÷ √4 000 ≈ 1,5 point.
La construction de cette marge est détaillée sur la page intervalle de confiance d’une moyenne. Elle suppose un échantillon tiré au hasard : la loi des grands nombres ne corrige pas un échantillon biaisé.
Ce que la loi ne dit pas : l’erreur du joueur
Après dix « pile » de suite, beaucoup pensent que « face » est devenu plus probable, pour « rattraper ». C’est faux : chaque lancer reste à 50 %. La loi des grands nombres ne fonctionne pas par compensation des écarts passés, mais par dilution : un écart de 10 lancers pèse lourd sur 20 lancers, presque rien sur 10 000.
Dans un jeu dont l’espérance est négative pour le joueur, la loi des grands nombres joue contre lui : plus il joue, plus son gain moyen par partie se rapproche de cette espérance négative. Le casino, qui cumule des millions de mises, compte précisément sur elle.
Où la loi des grands nombres est utilisée
- Assurance : le coût d’un sinistre individuel est imprévisible, mais le coût moyen sur des milliers d’assurés est stable. La mutualisation repose sur cette stabilité.
- Sondages et statistiques publiques : la moyenne ou la proportion observée sur un échantillon aléatoire estime celle de la population.
- Simulation (méthode de Monte-Carlo) : on estime une espérance ou une probabilité en simulant un grand nombre de tirages.
- Statistique descriptive : la moyenne d’un grand tableau d’effectifs ou de données groupées approche l’espérance de la loi sous-jacente.
La loi a des conditions. Si l’espérance n’existe pas (certaines lois à « queue épaisse », comme la loi de Cauchy), la moyenne ne se stabilise pas. Et une seule valeur aberrante peut déplacer fortement la moyenne d’un petit échantillon, même si elle finit par être diluée. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
À partir de combien de tirages la loi « s’applique »-t-elle ?
Il n’y a pas de seuil : la loi décrit une tendance quand n grandit. Ce qui compte, c’est la précision voulue, donnée par σ ÷ √n.
Quelle différence avec le théorème central limite ?
La loi des grands nombres dit que la moyenne converge vers l’espérance ; le théorème central limite précise la forme des fluctuations autour de l’espérance (en cloche, de largeur σ ÷ √n), ce qui permet de construire des intervalles de confiance.
La loi des grands nombres s’applique-t-elle au Loto ?
Oui, aux fréquences de sortie des numéros sur un très grand nombre de tirages. Elle ne permet pas de prédire un tirage : un numéro « en retard » n’a pas plus de chances de sortir.
Sources
- Bernoulli J., « Ars Conjectandi », Bâle, 1713 (quatrième partie, théorème de Bernoulli).
- Borel É., « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1909.
- Kolmogorov A. N., « Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung », Springer, 1933.