Les formules
- Variable discrète
- E(X) = Σ xᵢ × pᵢ
- Variable continue de densité f
- E(X) = ∫ x f(x) dx
- Dé à six faces
- 3,5
- Mise sur un numéro, roulette à 37 cases
- −1/37 ≈ −2,7 % de la mise
Les pᵢ sont les probabilités de chaque valeur ; leur somme vaut 1.
Comment calculer une espérance
- Listez les valeurs possibles de la variable (gains, nombre de succès, durée…).
- Associez à chacune sa probabilité, et vérifiez que la somme vaut 1.
- Multipliez chaque valeur par sa probabilité.
- Additionnez les produits.
| Gain brut | Probabilité | Gain × probabilité |
|---|---|---|
| 0 € | 0,70 | 0 |
| 2 € | 0,20 | 0,40 |
| 5 € | 0,08 | 0,40 |
| 20 € | 0,019 | 0,38 |
| 100 € | 0,001 | 0,10 |
| Total | 1 | 1,28 |
Interprétation
Espérance du gain brut : 1,28 €. Pour un ticket à 2 €, l’espérance du gain net vaut 1,28 − 2 = −0,72 €.
En moyenne, sur un grand nombre de tickets, le joueur perd 72 centimes par ticket, soit 36 % de sa mise. Le jeu est défavorable au joueur.
Espérance et moyenne : quel lien ?
La formule de l’espérance est celle d’une moyenne pondérée, dans laquelle les fréquences observées sont remplacées par des probabilités théoriques. Calculer la moyenne d’un tableau d’effectifs avec les fréquences (voir la moyenne avec effectifs) revient à calculer l’espérance de la loi « empirique » des données.
Le lien est rendu précis par la loi des grands nombres : en lançant un dé un grand nombre de fois, la moyenne des résultats se rapproche de 3,5. L’espérance est donc la moyenne « à long terme ». Elle n’est pas forcément une valeur possible : on n’obtient jamais 3,5 avec un dé.
Exemple : la roulette européenne
Une roulette européenne compte 37 cases (0 à 36). Une mise de 1 € sur un numéro plein rapporte 35 € de gain net si le numéro sort, et fait perdre la mise sinon.
Calcul
E(gain) = 35 × (1/37) + (−1) × (36/37) = (35 − 36) ÷ 37 = −1/37 ≈ −0,027 €.
Le joueur perd en moyenne 2,7 centimes par euro misé. Une mise sur le rouge a la même espérance : 1 × 18/37 + (−1) × 19/37 = −1/37, le zéro faisant perdre la mise (hors règles particulières de certains casinos).
Propriétés de l’espérance
- Linéarité : E(aX + b) = a × E(X) + b. Si l’on double tous les gains et ajoute 1 €, l’espérance double et augmente de 1 €.
- Somme : E(X + Y) = E(X) + E(Y), même si X et Y ne sont pas indépendantes. L’espérance de la somme de deux dés vaut 3,5 + 3,5 = 7.
- Produit : E(XY) = E(X) × E(Y) seulement si X et Y sont indépendantes.
- Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]². Pour un dé, E(X²) = 91/6 ≈ 15,17, donc V(X) = 15,17 − 12,25 ≈ 2,92 et l’écart-type ≈ 1,71.
| Loi | Exemple | Espérance |
|---|---|---|
| Bernoulli de paramètre p | Succès (1) ou échec (0) | p |
| Binomiale B(n ; p) | Nombre de « pile » en 100 lancers (p = 0,5) | n × p = 50 |
| Uniforme sur {1, …, n} | Dé à 6 faces | (n + 1) ÷ 2 = 3,5 |
| Géométrique de paramètre p | Nombre de lancers pour obtenir un 6 | 1 ÷ p = 6 |
| Uniforme continue sur [a ; b] | Attente d’un bus passant toutes les 10 min, arrivée au hasard | (a + b) ÷ 2 = 5 min |
| Exponentielle de paramètre λ | Durée de vie d’un composant sans usure | 1 ÷ λ |
Les limites de l’espérance pour décider
Une espérance positive ne garantit pas un bon choix pour un individu qui ne joue qu’une fois : elle ne dit rien du risque. Deux paris de même espérance peuvent avoir des dispersions très différentes, mesurées par la variance. C’est aussi pourquoi on s’assure : le contrat d’assurance a une espérance de gain négative pour l’assuré (la prime couvre les sinistres moyens plus les frais), mais il supprime le risque d’une perte très lourde.
Quand on estime une espérance inconnue à partir d’un échantillon, la moyenne observée est entachée d’incertitude : l’erreur type la mesure et l’intervalle de confiance l’encadre. Pour une variable continue, l’espérance se calcule avec une intégrale, sur le modèle de la valeur moyenne d’une fonction ; les seuils de la loi (médiane, déciles) en complètent la description. Les données groupées en classes en donnent une approximation : voir la moyenne de données groupées. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Une espérance peut-elle être négative ?
Oui, si les valeurs négatives (pertes) l’emportent en moyenne. C’est le cas de la plupart des jeux d’argent du point de vue du joueur.
Que veut dire « jeu équitable » ?
Un jeu dont l’espérance de gain net est nulle : en moyenne, ni le joueur ni l’organisateur ne gagne.
Espérance et moyenne, quelle différence ?
La moyenne se calcule sur des données observées ; l’espérance est une caractéristique théorique de la loi de probabilité. La moyenne d’un échantillon est une estimation de l’espérance.
Sources
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques » (classe NormalDist), documentation Python 3. docs.python.org
- Microsoft, « Fonctions statistiques (référence) » (LOI.BINOMIALE.N, LOI.EXPONENTIELLE.N), Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com