L’inégalité des moyennes (valeurs strictement positives)
H ≤ G ≤ A ≤ Qn ÷ Σ(1/xᵢ) ≤ (x₁⋯xₙ)^(1/n) ≤ Σxᵢ ÷ n ≤ √(Σxᵢ² ÷ n). Égalités si et seulement si toutes les valeurs sont égales.
Exemple avec 2 et 8 : 3,2 ≤ 4 ≤ 5 ≤ 5,83.
L’inégalité arithmético-géométrique pour deux nombres
Pour a et b positifs ou nuls : √(ab) ≤ (a + b) ÷ 2. La démonstration tient en une ligne :
Démonstration
Un carré est toujours positif ou nul : (√a − √b)² ≥ 0.
En développant : a − 2√(ab) + b ≥ 0, donc a + b ≥ 2√(ab), donc (a + b) ÷ 2 ≥ √(ab).
L’égalité a lieu si et seulement si √a = √b, c’est-à-dire a = b.
On peut aussi l’écrire sous la forme a² + b² ≥ 2ab (en remplaçant a et b par leurs carrés), ou encore x + 1/x ≥ 2 pour tout x > 0 (en prenant a = x et b = 1/x).
L’interprétation géométrique
Dans un demi-cercle de diamètre a + b, le rayon vaut (a + b) ÷ 2 et la hauteur élevée au point qui sépare les segments a et b vaut √(ab). Une hauteur ne peut pas dépasser le rayon : c’est l’inégalité. Elle explique aussi pourquoi, parmi les rectangles de même périmètre, le carré a la plus grande aire.
Le cas général à n nombres
Pour x₁, …, xₙ positifs ou nuls : (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n. Plusieurs démonstrations classiques existent :
- Par récurrence « aller-retour » (Cauchy, 1821) : on prouve le résultat pour 2, 4, 8, … nombres en appliquant le cas n = 2 deux à deux, puis on redescend à tout n en complétant la liste par la moyenne elle-même.
- Par la concavité du logarithme : ln est concave, donc la moyenne des ln xᵢ est inférieure ou égale au ln de la moyenne (inégalité de Jensen). En repassant à l’exponentielle, on obtient G ≤ A.
- Par la tangente : ln x ≤ x − 1 pour tout x > 0. On l’applique à xᵢ ÷ A et on additionne : la somme des ln(xᵢ ÷ A) est négative ou nulle, ce qui donne G ≤ A.
Vérification sur des exemples
| Série | Harmonique | Géométrique | Arithmétique | Quadratique |
|---|---|---|---|---|
| 5 ; 5 ; 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 2 ; 8 | 3,2 | 4 | 5 | 5,83 |
| 1 ; 10 ; 100 | 2,70 | 10 | 37 | 58,0 |
Quand toutes les valeurs sont égales, les quatre moyennes coïncident. Plus la série est dispersée, plus elles s’écartent. Pour deux nombres, on a en plus G² = A × H : la moyenne géométrique est exactement la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et harmonique (√(5 × 3,2) = 4).
L’écart entre A et Q se lit directement grâce à la variance : Q² = A² + σ², où σ² est la variance calculée en divisant par n. Voir la moyenne quadratique.
Applications concrètes
Optimisation sans dérivée
Exemple : l’enclos le plus grand
Avec 40 m de clôture, quel rectangle de côtés a et b a la plus grande aire ? On a a + b = 20.
Par l’inégalité : √(ab) ≤ (a + b) ÷ 2 = 10, donc ab ≤ 100.
L’aire maximale, 100 m², est atteinte quand a = b = 10 m : le carré.
Taux de croissance
Le taux de croissance annuel moyen est une moyenne géométrique de coefficients. L’inégalité garantit qu’il est toujours inférieur ou égal à la moyenne arithmétique des coefficients, donc à la moyenne simple des taux : additionner des taux puis diviser surestime toujours la croissance réelle (sauf si tous les taux sont égaux).
Vitesses moyennes
Sur un aller-retour, la vitesse moyenne est la moyenne harmonique des deux vitesses. Comme H ≤ A, elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne des vitesses : rouler plus vite au retour ne compense jamais complètement un aller lent.
Généralisation : les moyennes de puissance
Toutes ces moyennes sont des cas particuliers de la moyenne d’ordre p : Mₚ = (Σxᵢᵖ ÷ n)^(1/p). On retrouve l’harmonique pour p = −1, l’arithmétique pour p = 1, la quadratique pour p = 2, et la géométrique comme limite quand p tend vers 0. Le théorème général affirme que Mₚ croît avec p : plus p est grand, plus la moyenne donne de poids aux grandes valeurs. Les extrêmes sont le minimum (p → −∞) et le maximum (p → +∞).
Les moyennes de lissage (moyenne mobile, moyenne mobile exponentielle) et la moyenne tronquée sont des moyennes arithmétiques, éventuellement pondérées : elles se placent au rang « A » de la chaîne. La version continue de l’inégalité s’applique aussi à la valeur moyenne d’une fonction. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
L’inégalité est-elle vraie avec des nombres négatifs ?
Non, la moyenne géométrique n’est pas définie en général pour des nombres négatifs. L’inégalité suppose des valeurs positives ou nulles (strictement positives pour la moyenne harmonique).
Comment montrer que x + 1/x ≥ 2 ?
Appliquez l’inégalité arithmético-géométrique à x et 1/x : (x + 1/x) ÷ 2 ≥ √(x × 1/x) = 1. L’égalité a lieu pour x = 1.
Que veut dire IAG ?
C’est l’abréviation courante d’« inégalité arithmético-géométrique » dans les cours de lycée et de classes préparatoires ; on la note aussi AM-GM en anglais.
Sources
- Cauchy A.-L., « Cours d’analyse de l’École royale polytechnique. Première partie : Analyse algébrique », 1821 (note II, démonstration de l’inégalité par récurrence).
- Hardy G. H., Littlewood J. E., Pólya G., « Inequalities », Cambridge University Press, 1934 (chapitre II sur les moyennes de puissance).