La formule
Q = √[(x₁² + x₂² + … + xₙ²) ÷ n]En anglais : RMS (root mean square). Toujours supérieure ou égale à la moyenne arithmétique des valeurs absolues.
Lien avec l’écart-type : Q² = moyenne² + variance (variance calculée en divisant par n).
Comment calculer une moyenne quadratique
- Élevez chaque valeur au carré (les négatifs deviennent positifs).
- Faites la moyenne de ces carrés.
- Prenez la racine carrée du résultat.
Exemple : erreurs d’un thermomètre
Écarts mesurés sur quatre jours : +2, −1, +3, −4 °C.
Moyenne simple : (2 − 1 + 3 − 4) ÷ 4 = 0 °C, comme si l’appareil était parfait.
Carrés : 4, 1, 9, 16. Moyenne des carrés : 30 ÷ 4 = 7,5.
Moyenne quadratique : √7,5 ≈ 2,74 °C. C’est l’erreur typique de l’appareil.
L’exemple montre l’intérêt de la moyenne quadratique : la moyenne arithmétique laisse les écarts positifs et négatifs s’annuler (voir moyenne avec des nombres négatifs), la moyenne quadratique non.
La valeur efficace d’une tension alternative
La tension du réseau domestique varie selon une sinusoïde 50 fois par seconde en Europe. Sa moyenne arithmétique sur une période est nulle, ce qui ne dit rien de l’énergie transportée. On utilise donc sa moyenne quadratique, appelée valeur efficace : c’est la tension continue qui dissiperait la même puissance dans une résistance.
Exemple : du 230 V à la tension de crête
Pour une sinusoïde, valeur efficace = amplitude ÷ √2.
Amplitude d’un réseau de 230 V efficaces : 230 × √2 ≈ 325 V.
La tension oscille donc entre environ −325 V et +325 V, mais chauffe un radiateur comme le ferait une tension continue de 230 V.
L’erreur quadratique moyenne (RMSE)
En prévision et en apprentissage automatique, on évalue un modèle par la racine de l’erreur quadratique moyenne (RMSE, pour root mean square error) : la moyenne quadratique des écarts entre prévisions et valeurs réelles. Elle pénalise davantage les grosses erreurs que l’erreur absolue moyenne (MAE).
| Modèle | Erreurs | Erreur absolue moyenne | Moyenne quadratique (RMSE) |
|---|---|---|---|
| A, erreurs régulières | 2, −2, 2, −2 | 2 | 2 |
| B, une grosse erreur | 0, 0, 0, 8 | 2 | 4 |
Les deux modèles ont la même erreur absolue moyenne, mais la RMSE signale que le modèle B commet une erreur grave. L’erreur absolue moyenne est l’équivalent, pour des erreurs, de l’écart moyen.
Lien avec l’écart-type et la variance
L’écart-type est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne. Plus précisément, pour une série de moyenne m et d’écart-type σ (variance calculée en divisant par n) : Q² = m² + σ².
Vérification sur la série 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Moyenne m = 40 ÷ 8 = 5. Écart-type σ = 2 (variance 4).
Somme des carrés : 4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232. Moyenne des carrés : 29.
Q = √29 ≈ 5,39, et m² + σ² = 25 + 4 = 29. La relation est vérifiée.
Conséquence : la moyenne quadratique est égale à la moyenne arithmétique seulement si toutes les valeurs sont égales (σ = 0). Plus la série est dispersée, plus Q s’éloigne de la moyenne.
Place parmi les autres moyennes
| Moyenne | Formule pour a et b | Résultat |
|---|---|---|
| Harmonique | 2ab ÷ (a + b) | 3,2 |
| Géométrique | √(ab) | 4 |
| Arithmétique | (a + b) ÷ 2 | 5 |
| Quadratique | √[(a² + b²) ÷ 2] | 5,83 |
Cet ordre (harmonique ≤ géométrique ≤ arithmétique ≤ quadratique) est toujours vrai pour des valeurs positives. Contrairement à la moyenne tronquée, la moyenne quadratique accentue le poids des valeurs extrêmes au lieu de le réduire. Elle ne sert pas non plus à lisser une série dans le temps : c’est le rôle de la moyenne mobile et de la moyenne mobile exponentielle. Pour des taux de croissance, utilisez le taux de croissance annuel moyen.
Dans Excel, Google Sheets et Python
Il n’existe pas de fonction « moyenne quadratique » dans Excel. Avec des valeurs en A2:A10 : =RACINE(SOMME.CARRES(A2:A10)/NB(A2:A10)), ou =RACINE(MOYENNE(A2:A10^2)) dans les versions récentes qui gèrent les calculs matriciels. En Python : math.sqrt(statistics.fmean(v*v for v in x)). Les autres méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre moyenne quadratique et écart-type ?
La moyenne quadratique porte sur les valeurs elles-mêmes ; l’écart-type est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne. Si la moyenne de la série est nulle, les deux coïncident.
Pourquoi parle-t-on de 230 V alors que la tension monte à 325 V ?
230 V est la valeur efficace, c’est-à-dire la moyenne quadratique de la tension. 325 V est la valeur de crête, atteinte deux fois par période (en positif et en négatif).
La moyenne quadratique peut-elle être négative ?
Non. Les carrés sont positifs ou nuls et la racine carrée est positive : la moyenne quadratique est toujours supérieure ou égale à zéro.
Sources
- Commission électrotechnique internationale, « IEC 60038 : Tensions normales de la CEI », norme fixant la tension nominale basse tension de 230/400 V.
- Microsoft, « Fonctions statistiques (référence) » (SOMME.CARRES.ECARTS, VAR.P), Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques », documentation Python 3. docs.python.org