La formule
μ = 1 ÷ (b − a) × ∫ₐᵇ f(x) dxf continue sur [a ; b], avec a < b. Si F est une primitive de f : μ = [F(b) − F(a)] ÷ (b − a).
Exemples : x² sur [0 ; 3] → 3 · sin x sur [0 ; π] → 2/π ≈ 0,637 · 1/x sur [1 ; e] → 1/(e − 1) ≈ 0,582.
Comment calculer la valeur moyenne d’une fonction
- Trouvez une primitive F de f.
- Calculez l’intégrale : F(b) − F(a).
- Divisez par la longueur de l’intervalle, b − a.
Exemple 1 : f(x) = x² sur [0 ; 3]
Primitive : F(x) = x³ ÷ 3.
Intégrale : F(3) − F(0) = 27 ÷ 3 − 0 = 9.
Valeur moyenne : 9 ÷ (3 − 0) = 3.
Remarque : la moyenne des valeurs extrêmes, (0 + 9) ÷ 2 = 4,5, ne donne pas le bon résultat, car la courbe reste longtemps basse avant de monter.
Exemple 2 : f(x) = sin x sur [0 ; π]
Primitive : F(x) = −cos x. Intégrale : −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2.
Valeur moyenne : 2 ÷ π ≈ 0,637. Sur une arche de sinusoïde, la moyenne vaut environ 64 % du maximum.
Pourquoi cette formule est une moyenne
Découpez [a ; b] en n morceaux égaux et relevez f en un point de chaque morceau. La moyenne arithmétique de ces n valeurs vaut [f(x₁) + … + f(xₙ)] ÷ n. Comme chaque morceau a une largeur (b − a) ÷ n, cette moyenne est égale à la somme de Riemann divisée par (b − a). Quand n devient très grand, la somme tend vers l’intégrale : on retrouve la formule.
| Nombre de points n | Points utilisés | Moyenne des valeurs |
|---|---|---|
| 1 | 1,5 | 2,25 |
| 3 | 0,5 ; 1,5 ; 2,5 | 2,92 |
| 6 | 0,25 ; 0,75 ; … ; 2,75 | 2,98 |
| Limite | intégrale | 3 |
C’est la façon dont un logiciel estime une valeur moyenne quand la primitive est inconnue : il fait la moyenne de nombreuses valeurs régulièrement espacées.
Interprétation : le rectangle de même aire
Pour une fonction positive, l’intégrale est l’aire sous la courbe. La valeur moyenne μ est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a exactement la même aire. Si la courbe représente un débit, une puissance ou une vitesse, μ est le débit, la puissance ou la vitesse constante qui produirait le même total sur la même durée.
Exemple 3 : vitesse moyenne d’un véhicule qui accélère
Une voiture démarre et sa vitesse vaut v(t) = 2t (en m/s) pendant 10 s.
Distance parcourue : ∫₀¹⁰ 2t dt = [t²]₀¹⁰ = 100 m.
Vitesse moyenne : 100 ÷ 10 = 10 m/s, soit 36 km/h. On retrouve « distance totale ÷ temps total ».
Le théorème de la moyenne
Si f est continue sur [a ; b], il existe au moins un c dans [a ; b] tel que f(c) = μ : la fonction atteint sa valeur moyenne. Pour x² sur [0 ; 3], c = √3 ≈ 1,73. Conséquence pratique : la valeur moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle, comme une moyenne de nombres.
Autres propriétés utiles :
- Linéarité : la moyenne de f + g est la somme des moyennes ; la moyenne de k × f vaut k fois celle de f.
- Fonction impaire sur un intervalle symétrique ([−a ; a]) : la valeur moyenne est nulle.
- Fonction périodique : sur une période entière, la moyenne ne dépend pas du point de départ. La moyenne de sin² x sur une période vaut 1/2, d’où la valeur efficace d’une tension sinusoïdale, amplitude ÷ √2 (voir la moyenne quadratique).
La moyenne d’une fonction composée n’est pas la fonction de la moyenne : la moyenne de x² sur [0 ; 3] vaut 3, alors que le carré de la moyenne de x (1,5² = 2,25) est plus petit. C’est l’inégalité de Jensen, version continue de l’inégalité des moyennes.
Liens avec les autres moyennes
La valeur moyenne d’une fonction est à une courbe ce que la moyenne arithmétique est à une liste de nombres. Pour une série observée à intervalles réguliers, la moyenne mobile et la moyenne mobile exponentielle en sont des équivalents discrets et glissants ; la moyenne tronquée n’a pas d’équivalent simple. Pour une grandeur qui croît de façon exponentielle, f(t) = V₀(1 + r)ᵗ, le taux r est le taux de croissance annuel moyen, qui n’est pas la valeur moyenne de la fonction. En probabilités, l’espérance d’une variable continue est la valeur moyenne pondérée par la densité (voir espérance mathématique). Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
La valeur moyenne peut-elle être négative ?
Oui, si la fonction est majoritairement négative sur l’intervalle. Les parties négatives comptent négativement dans l’intégrale, comme des nombres négatifs dans une moyenne.
À quel niveau étudie-t-on la valeur moyenne d’une fonction ?
Elle est enseignée en terminale avec le calcul intégral, en spécialité mathématiques, puis reprise dans l’enseignement supérieur.
Comment calculer une valeur moyenne avec une calculatrice ?
Utilisez la fonction d’intégrale numérique (∫ ou fnInt) sur [a ; b], puis divisez par b − a.
Sources
- Ministère de l’Éducation nationale, programme de mathématiques de spécialité de terminale générale, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019 (partie « Calcul intégral »).